María Ayala, estudiante de Licenciatura en Matemática de la UNNE, desarrolla un trabajo sobre sistemas de ecuaciones fraccionarias con relación de recurrencia. Este tipo de herramientas matemáticas permite describir procesos físicos y biológicos donde el comportamiento actual está influenciado por la suma de experiencias pasadas y la evolución de los sistemas.
María Ayala, estudiante de Licenciatura en Matemática de la Universidad Nacional del Nordeste, desarrolla una investigación sobre la solución de sistemas de ecuaciones que incorporan operadores del Cálculo Fraccionario. El trabajo se titula «Solución del Sistema de Ecuaciones Lineales Fraccionarias Secuenciales con Relación de Recurrencia y Coeficientes Constantes».
La investigación cuenta con el respaldo de una Beca de Estímulo a las Vocaciones Científicas otorgada por el Consejo Interuniversitario Nacional (BECA EVC-CIN) y es dirigida por el doctor Luciano Luque y co dirigida por el doctor Gustavo Dorrego, ambos docentes investigadores de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura de la UNNE.
El tema de investigación surgió del desarrollo de la tesis doctoral del doctor Luciano Luque, defendida en 2020. Son varios los artículos, sobre el tema, ya publicados por el director, y algunos en colaboración con el doctor Dorrego, ambos profesores son integrantes del proyecto de investigación «Cálculo Fraccionario y Distribuciones con Peso».
El objetivo del trabajo es encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales fraccionarias secuenciales con relación de recurrencia. Para esto, se partirá de un sistema de ecuaciones estudiado previamente y se le impondrá una relación de recurrencia.
La hipótesis de la investigación plantea que existen semejanzas entre las ecuaciones diferenciales fraccionarias secuenciales y las ecuaciones fraccionarias secuenciales que incluyen una relación de recurrencia. No se trata de un juego de palabras, la becaria espera comprobar que los métodos y resultados pueden trasladarse de un contexto a otro.
El cálculo fraccionario es una extensión del cálculo tradicional. Mientras el cálculo habitual trabaja con derivadas e integrales de orden entero (por ejemplo, primera o segunda derivada), el Cálculo Fraccionario permite definir derivadas e integrales de orden no entero, como “media derivada” o “derivada de orden 1,5”.
Estas operaciones sirven para describir procesos que dependen no solo del instante actual, sino también del comportamiento previo del sistema. Por ejemplo, en Física o Biología hay fenómenos que conservan un “rastro” del pasado, lo que se denomina memoria del sistema. En muchos fenómenos físicos y biológicos, el estado actual depende del que ocurrió antes. El cálculo fraccionario incorpora esa memoria a las ecuaciones, de modo que los resultados no se basan solo en el instante actual, sino también en toda la evolución anterior del sistema.
“El cálculo fraccionario incorpora esa memoria a las ecuaciones, de modo que los resultados no se basan solo en el instante actual, sino también en toda la evolución anterior del sistema”.
Ayala trabaja con sistemas de ecuaciones que incluyen una relación de recurrencia. Este término designa una regla mediante la cual cada elemento de una secuencia se calcula a partir de uno o varios anteriores. Un ejemplo cotidiano es la forma en que una persona puede estimar su gasto mensual según los valores de los meses previos.
El sistema que estudia la becaria amplía modelos planteados en 2007 y generaliza resultados publicados en 2021, que trataban ecuaciones individuales. El objetivo es resolver no solo una ecuación, sino un conjunto de ellas conectadas entre sí, todas con características fraccionarias y relaciones de recurrencia.
En este tipo de ecuaciones aparecen funciones especiales, entre ellas las llamadas funciones de Mittag-Leffler. Estas funciones son equivalentes, dentro del Cálculo Fraccionario, a la función exponencial en el cálculo tradicional. La función exponencial es aquella que al derivarse o integrarse produce nuevamente la misma función multiplicada por una constante. Los investigadores buscaron funciones que conserven esa propiedad en el contexto fraccionario y así surgieron las del tipo Mittag-Leffler.
Ayala continuará un procedimiento desarrollado por los investigadores Bonilla Rivero y Trujillo, que consiste en extender una función ૪-α-n-exponencial al caso matricial. Este paso permitirá encontrar la solución explícita del sistema cuando los coeficientes son constantes. Luego se aplicarán los resultados a ejemplos de problemas físicos.
“El sistema que estudia la becaria amplía modelos planteados en 2007 y generaliza resultados publicados en 2021…”
El trabajo se estructura en varias etapas: revisión de la bibliografía existente; estudio de los fundamentos del cálculo fraccionario, análisis de resultados previos y desarrollo de la solución del sistema de ecuaciones. Una vez obtenidos los resultados, la becaria elaborará una monografía y, si se verifican las conclusiones, se propondrá la publicación de un artículo en una revista científica especializada.
