Un equipo de investigadores de la Universidad Nacional del Nordeste (UNNE), el CONICET y la Universidad Nacional de Córdoba (UNC) presentó un enfoque innovador para resolver problemas de programación no lineal. La técnica, que utiliza un método «Lagrangiano aumentado sharp» combinado con una técnica de suavizado, fue publicada en una prestigiosa revista internacional.
El método de Lagrangiano aumentado clásico es un algoritmo confiable para resolver problemas de optimización con restricciones, es decir, para encontrar el valor mínimo de una función sujeta a ciertas condiciones.
Sin embargo, la propuesta de incorporar una penalización no diferenciable no había sido explorada en profundidad.
Justamente, éste fue el desafío que asumió el equipo de la Universidad Nacional del Nordeste (UNNE) y la Universidad Nacional de Córdoba (UNC), quienes de manera reciente desarrollaron un algoritmo que genera una sucesión de soluciones a subproblemas «fáciles» y se demostró que el límite de esa sucesión converge a un punto estacionario del problema original.
Este método se puede aplicar a diversos campos, como la Física, la Economía y la Biología, entre otros.
Los resultados del trabajo fueron presentados en el artículo titulado “Enhancing Sharp Augmented Lagrangian Methods with Smoothing Techniques for Nonlinear Programming”, que se publicó en la revista “Journal of Optimization Theory and Applications”, una de las más reconocidas en el área de optimización.
“Obtuvimos resultados prometedores, que nos incentivan a continuar con una extensión del método para problemas de optimización con restricciones generales”, destacaron los autores.
El trabajo estuvo a cargo del Dr. José Luis Romero, egresado de la Licenciatura en Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura (FACENA-UNNE) y reciente doctorado en Matemática de la Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación (FAMAF-UNC); el Dr. Germán Torres, docente de FACENA-UNNE e investigador del Instituto de Modelado e Innovación Tecnológica (CONICET-UNNE); y el Dr. Damián Fernández, investigador en el Grupo de Análisis Numérico y Computación de FAMAF-UNC.
Relevancia
“En esta área que combina teoría y práctica, es complejo obtener buenos resultados”, explicó el Dr. Germán Torres en diálogo con UNNE Medios.
Señaló que el aporte se basa en una sólida fundamentación teórica, que cubre importantes vacíos en la literatura, y en una validación práctica que demuestra su efectividad.
Para probar la capacidad del algoritmo, se utilizó un conjunto de problemas tests, que se utilizan comúnmente para pruebas en este campo disciplinar, que tuvo resultados muy buenos, tanto en problemas pequeños como en problemas de gran porte (del orden de las 100000 variables).
“Esperamos continuar en esta línea de investigación que tiene múltiples áreas de aplicación”, indicó.
Detalles técnicos
Desde el punto de vista técnico, el enfoque sustituye la penalización clásica en los métodos de Lagrangiano aumentado (del tipo Powell-Hestenes-Rockafellar, o PHR) por una función no diferenciable, conocida por sus buenas propiedades teóricas.
“Nuestro método conserva la estructura de los algoritmos PHR, pero aprovecha las ventajas de esta nueva penalización. Implementamos una técnica de suavizado para manejar la no diferenciabilidad”, explicaron los autores.
Se presentaron dos versiones del algoritmo basados en este método, uno que aprovecha el valor exacto del parámetro de suavizado, y otro en el que se resuelve el subproblema en todas las variables, incluido el parámetro de suavizado.
En esa línea, agregaron que “los experimentos numéricos muestran que nuestro método es competitivo respecto al lagrangiano aumentado clásico, ofreciendo robustez y eficiencia”.
“En esta área que combina teoría y práctica, es complejo obtener buenos resultados”
Motivación
El Dr. Torres enfatizó que la matemática tiene mucho para aportar desde la investigación, ya que es una disciplina transversal y útil en diversos campos.
En ese sentido, destacó que este aporte es fruto de una línea de trabajo de varios años entre FaCENA-UNNE, el IMIT y FAMAF-UNC, enfocada en optimización y matemática aplicada.
Comentó que ya están trabajando en un segundo artículo como continuación del trabajo publicado recientemente.
Además, resaltó que el Dr. José Luis Romero fue seleccionado para una beca posdoctoral de CONICET, con lugar de trabajo en FACENA, lo que permite recuperar un recurso humano altamente calificado formado en la institución.
